Question

给出下列四个命题：
①函数f（x）=2^x-x²有且仅有两个零点；
②对于函数f（x）=lnx的定义域中任意的x₁，x₂（x₁≠x₂）必有f(

x1+x2

2

)＜

f(x1)+f(x2)

2

；
③已知f（x）=|2^-x-1|，当a＜b时有f（a）＜f（b），则必有0＜f（b）＜1；
④已知图象连续不断的函数y=f（x）在区间（a，b）（b-a=0.1）上有唯一零点，如果用“二分法”求这个零点（精确度0.0001）的近似值，那么将区间（a，b）等分的次数至少是10次．
其中正确命题的序号是

③④

．

Answer 1

分析：①根据零点存在定理可判断出f（x）在（-1，0）上有一个零点，结合2，4也是函数f（x）=2^x-x²的零点，可判断①的真假；
②根据函数的凹凸性，可判断②的真假；
③根据指数函数的图象和性质及函数图象的平移变换和对折变换法则，分析出f（x）=|2^-x-1|的图象和性质，可判断③的真假．
④根据计算精确度与区间长度和计算次数的关系满足

b-a

2n

＜精确度确定等分次数，可判断④的真假；

解答：解：∵f（-1）＜0，f（0）＞0，故函数f（x）在（-1，0）上有一个零点，又∵f（2）=f（4）=0，故函数f（x）至少有三个零点，故①错误；
若任意的x₁，x₂（x₁≠x₂）必有f(

x1+x2

2

)＜

f(x1)+f(x2)

2

，则函数f（x）为凹函数，但函数f（x）=lnx为凸函数，故②错误；
∵f（x）=|2^-x-1|在（-∞，0]上为减函数，在[0，+∞）上为增函数，故当a＜b时有f（a）＜f（b）时，b＞0，则必有0＜f（b）＜1，故③正确；
设须计算n次，则n满足

b-a

2n

=

0.1

2n

＜0.0001，即2ⁿ＞1000．由于2⁹=512＜1000，2¹⁰=1024＞1000，那么将区间（a，b）等分的次数至少是10次，即④正确．
故答案为：③④

点评：在用二分法求方程的近似解时，精确度与区间长度和计算次数之间存在紧密的联系，可以根据其中两个量求得另一个．