Question

设x，y满足线性约束条件

x-y+2≥0 2x+y-5≤0 x≥0 y≥0

，若目标函数z=abx+y（a＞0，b＞0）的最大值为6，则a+b的最小值为

 

．

Answer 1

考点：简单线性规划的应用

专题：数形结合法,不等式的解法及应用

分析：画出满足约束条件的可行域，再根据目标函数z=abx+y（a＞0，b＞0）的最大值为6，求出a，b的关系式，再利用基本不等式求出a+b的最小值．

解答： 解：满足线性约束条件

x-y+2≥0 2x+y-5≤0 x≥0 y≥0

的区域是一个四边形，如图
4个顶点是（0，0），（0，2），（2.5，0），（1，3），
若目标函数在（1，3）取最大值6，
即6=ab+3，∴ab=3，
∴a+b≥2

ab

=2

3

，当且仅当a=b时取等号，此时a+b的最小值为2

3

．
若目标函数在（2.5，0）取最大值6，即6=2.5ab，∴ab=

12

5

，
∴a+b≥2

ab

=

4 15

5

，当且仅当a=b时取等号，此时a+b的最小值为

4 15

5

．
∴a+b的最小值为

4 15

5

．
故答案为：

4 15

5

．

点评：本题考查线性规划知识的运用，用图解法解决线性规划问题时，分析题目的已知条件，找出约束条件和目标函数是关键．