Question

14、如图正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E，F，M，N分别是A₁B₁，BC，C₁D₁，B₁C₁的中点，求证：平面MNF⊥平面ENF．

Answer 1

分析：欲证平面MNF⊥平面ENF，先证直线与平面垂直，由题意可得：MN⊥EN，MN⊥NF，所以MN⊥面ENF，进一步易得平面MNF⊥平面ENF．

解答：解：连接A₁C₁，B₁D₁
∵E，M，N分别是A₁B₁，C₁D₁，B₁C₁的中点，
∴MN∥B₁D₁，EN∥A₁C₁
又∵A₁C₁⊥B₁D₁
∴MN⊥EN
在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，
∵F，N分别是BC，B₁C₁的中点，
∴NF∥B₁B
又∵B₁B⊥面A₁B₁C₁D₁
∴NF⊥面A₁B₁C₁D₁
∵MN?面A₁B₁C₁D₁
∴MN⊥NF
∵EN∩NF=N
∴MN⊥面ENF
又∵MN?平面MNF
∴平面MNF⊥平面ENF

点评：本小题主要考查空间线面关系，考查数形结合、化归与转化的数学思想方法，以及空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力