Question

（本小题满分14分）

如图7，已知椭圆：的离心率为，以椭圆的左顶点为

圆心作圆：，设圆与椭圆交于点与点．

（1）求椭圆的方程；

（2）求的最小值，并求此时圆的方程；

（3）设点是椭圆上异于的任意一点，且直线分别与轴交于点

，为坐标原点，求证：为定值．

 

 

Answer 1

【答案】

 

解：（1）依题意，得，，

；

故椭圆的方程为 ．                ………………………………………3分

（2）方法一：点与点关于轴对称，设，， 不妨设．

由于点在椭圆上，所以．     （*）          ……………………4分         

由已知，则，，

 

．                    ……………………………………6分

由于，故当时，取得最小值为．

由（*）式，，故，又点在圆上，代入圆的方程得到．  

故圆的方程为：．                         ……………………8分

方法二：点与点关于轴对称，故设，

不妨设，由已知，则

 

．        ……………………………………………………6分

故当时，取得最小值为，此时，

又点在圆上，代入圆的方程得到．  

故圆的方程为：．                         ……………………8分

(3) 方法一：设，则直线的方程为：，

令，得， 同理：，    ……………………10分

故      （**）                     ……………………11分

又点与点在椭圆上，故，，……………………12分

代入（**）式，得：

        ．

所以为定值．               ……………………14分

方法二：设，不妨设，，其中．则直线的方程为：，

令，得，

同理：，                 …………………………12分

故．

所以为定值．               ……………………14分

 

【解析】略