Question

5．已知椭圆C：${x^2}+\frac{y^2}{2}=1$与直线x+y-1=0相交于A，B两点，则|AB|=$\frac{2\sqrt{6}}{3}$．

Answer 1

分析 直接利用直线与椭圆方程联立方程组，求出A，B的坐标，利用两点间距离公式求出距离即可．

解答 解：因为椭圆C：${x^2}+\frac{y^2}{2}=1$与直线x+y-1=0相交于A，B两点，
所以$\left\{\begin{array}{l}{x}^{2}+\frac{{y}^{2}}{2}=1\\ x+y-1=0\end{array}\right.$，消去y可得3x²-2x-1=0，
解得$\left\{\begin{array}{l}x=1\\ y=0\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}x=-\frac{1}{3}\\ y=\frac{4}{3}\end{array}\right.$，A、B的坐标为（1，0），（$-\frac{1}{3}$，$\frac{4}{3}$），
所以|AB|=$\sqrt{（{1+\frac{1}{3}）}^{2}+（0-\frac{4}{3}）^{2}}$=$\frac{2\sqrt{6}}{3}$．
故答案为：$\frac{2\sqrt{6}}{3}$．

点评 本题考查直线与椭圆的交点坐标的求法，两点间距离公式的应用，也可以利用弦长公式求解．