Question

已知函数，（ 为常数，为自然对数的底）．

（1）当时，求；

（2）若在时取得极小值，试确定的取值范围；

（3）在（2）的条件下，设由的极大值构成的函数为，将换元为，试判断曲线是否能与直线（为确定的常数）相切，并说明理由．

 

Answer 1

（1）；（2）的取值范围是；（3）曲线不能与直线相切，证明详见解析．

【解析】

试题分析：（1）当时，根据函数的求导法则求出导函数，进而可求出；（2）先根据函数的求导法则求出导函数，进而分、、三种情况进行讨论，确定哪一种情况才符合在时取得极小值，进而可确定的取值范围；（3）根据（2）确定函数的极大值为，进而得出，该曲线能否与直线相切，就看方程有没有解，进而转化为求函数的最值问题，利用函数的导数与最值的关系进行求解判断即可．

试题解析：（1）当时，，

所以

（2）因为

令，得或

当，即时，恒成立

此时在区间上单调递减，没有极小值；

当，即时， 若，则，若，则

所以是函数的极小值点

当，即时，若，则．若，则

此时是函数的极大值点

综上所述，使函数在时取得极小值的的取值范围是

（3）由（2）知当，且时，

因此是的极大值点，极大值为

所以．

令

则恒成立，即在区间上是增函数

所以当时，，即恒有

又直线的斜率为

所以曲线不能与直线相切．

考点：1．函数的求导法则；2．函数的极值与导数；3．函数的单调性与导数；4．函数的最值与导数．