Question

如图，四棱锥P-ABCD中，PD⊥底面ABCD，底面ABCD是菱形，∠BCD=60°，PD=AD=2，E是PC中点
（1）求证：面PAC⊥面PBD；
（2）求三棱锥E-BCD的体积．

Answer 1

考点：棱柱、棱锥、棱台的体积,直线与平面垂直的判定

专题：计算题,证明题,空间位置关系与距离

分析：（Ⅰ）运用线面垂直的判定和性质，以及面面垂直的判定，即可得证；
（Ⅱ）取CD的中点F，连接EF，可得EF⊥底面ABCD，由三棱锥的体积公式，即可得到．

解答： （1）证明：∵PD⊥底面ABCD，
∴PD⊥AC，
∵底面ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，PD∩BD=D，
∴AC⊥平面PBD，
又AC?平面PAC，
∴平面PAC⊥平面PBD；
（2）取CD的中点F，连接EF，
则由中位线定理得到EF∥PD，EF=

1

2

PD=1，
∵PD⊥底面ABCD，
∴EF⊥底面ABCD，
∴三棱锥E-BCD的体积是

1

3

•EF•S_△BCD=

1

3

×1×

1

2

×2×2×

3

2

=

3

3

．

点评：本题考查空间直线与平面的位置关系，考查线面垂直的判定和性质，以及面面垂直的判定，同时考查三棱锥的体积计算，属于基础题．