Question

直四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁，底面ABCD为菱形，AB=1，∠ABC=60°
（1）求证：AC⊥BD₁；
（2）若AA₁=

6

2

，求四面体D₁AB₁C的体积．

Answer 1

考点：棱柱、棱锥、棱台的体积,空间中直线与直线之间的位置关系

专题：空间位置关系与距离

分析：（1）连结BD交AC于O，由已知得AC⊥BD，从而DD₁⊥平面ABCD，进而DD₁⊥AC，由此求出AC⊥平面BB₁D₁D，从而AC⊥BD₁．
（2）由VD1-AB1C=VABCD-A1B1C1D1-VB1-ABC -VD1-ACD-VA -A1B1D1-VC-C1B1D1=VABCD-A1B1C1D1-4VB1-ABC，能求出四面体D₁AB₁C的体积．

解答： （1）证明：连结BD交AC于O．
∵四边形ABCD为菱形∴AC⊥BD，
∵直四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁，
∴DD₁⊥平面ABCD，∴DD₁⊥AC，
又DD₁交BD于D，
则AC⊥平面BB₁D₁D，
又BD₁?平面BB₁D₁D，
则AC⊥BD₁．（6分）
（2）解：∵AB=1，∠ABC=60°，AA₁=

6

2

，
∴VD1-AB1C=VABCD-A1B1C1D1-VB1-ABC -VD1-ACD-VA -A1B1D1-VC-C1B1D1
=VABCD-A1B1C1D1-4VB1-ABC
=

3

2

•

3

6

-4•

1

3

•

3

4

•

3

6

=

2

4

．（12分）

点评：本题考查异面直线的求法，考查四棱锥的体积的求法，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．