Question

已知函数f（x）=

2x+1

2x-1

．
（1）求函数f（x）的定义域；
（2）判定函数f（x）的奇偶性，并给出证明；
（3）若f（2x）=-

17

15

，求（

2

）^x+log₂8+log2

4	2

的值．

Answer 1

考点：函数单调性的判断与证明,函数的定义域及其求法,对数的运算性质

专题：函数的性质及应用

分析：（1）分式函数，需要令分母不为零，解得x的取值范围即可；
（2）根据奇函数的定义进行判断；
（3）首先求解x的值，然后，求解给定的代数式的值．

解答： 解：（1）∵函数f（x）=

2x+1

2x-1

．
∴2^x-1≠0，
∴x≠0，
∴该函数的定义域为（-∞，0）∪（0，+∞）．
（2）∵f(-x)=

2-x+1

2-x-1

=-

2x+1

2x-1

=-f（x）．
∴f（-x）=-f（x）
∴函数f（x）为奇函数．
（3）∵f（2x）=

4x+1

4x-1

=-

17

15

，
∴x=-2，
∴（

2

）^x+log₂8+log2

4	2

=（

2

）^-2+3log₂2+

1

4

log₂2
=

1

2

+3+

1

4

=

15

4

；
∴（

2

）^x+log₂8+log2

4	2

的值为

15

4

．

点评：本题重点考查了函数的定义域、奇偶性、对数的运算性质等知识，属于中档题．