Question

【题目】函数.

（Ⅰ）当曲线在点处的切线与直线垂直时，判断函数在区间上的单调性；

（Ⅱ）若函数在定义域内有两个零点，求的取值范围.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）见解析； （Ⅱ）.

【解析】

（Ⅰ）由，解得，令求得的范围，可得函数增区间，求得的范围，可得函数的减区间；（Ⅱ）函数在内有两个零点，等价于方程恰有两个不相等的正实根，令，分两种情况讨论，不合题意；当时，利用导数研究函数的单调性以及函数的最值，结合零点存在定理，列不等式求解即可.

（Ⅰ）由题意知，函数的定义域为.

，，解得.，

. 当时，，则恒成立，

故函数在区间上单调递增.

（Ⅱ）函数的定义域为.若函数在内有两个零点，即方程恰有两个不相等的正实根，

也就是方程恰有两个不相等的正实根.

令，

．

当时，＞0恒成立，函数在上是增函数，

∴函数最多一个零点，不合题意，舍去.

当时，由得；由得.

所以函数在单调递减，在内单调递增.

所以的最小值是，即，

. ，，解得.

因为所以在内有一个零点.

因为，所以

.

于是所以在内有一个零点.

故实数a的取值范围是.