Question

4．已知函数$f（x）={log_2}（{x^2}+2）$，$\overrightarrow a=（m，1）$，$\overrightarrow b=（\frac{1}{2}，\frac{m}{2}）$，且m＞0，若$f（\overrightarrow a•\overrightarrow b）≥f（|\overrightarrow a-\overrightarrow b|）$，试求m的取值范围．

Answer 1

分析 进行数量积的运算，先求出$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}=m$，$|\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}|=\sqrt{\frac{5{m}^{2}}{4}-2m+\frac{5}{4}}$，并且容易判断函数f（x）为偶函数，且单调递增在（0，+∞）上，从而根据$f（\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}）≥f（|\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}|）$便可得到不等式$m≥\sqrt{\frac{5}{4}{m}^{2}-2m+\frac{5}{4}}$，这样解该不等式便可得出m的取值范围．

解答 解：∵$\overrightarrow a=（m，1），\overrightarrow b=（\frac{1}{2}，\frac{m}{2}）$，m＞0；
∴$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}=\frac{m}{2}+\frac{m}{2}=m$，$|\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}|=\sqrt{（m-\frac{1}{2}）^{2}+（1-\frac{m}{2}）^{2}}$=$\sqrt{\frac{5{m}^{2}}{4}-2m+\frac{5}{4}}$；
由$f（x）={log_2}（{x^2}+2）$知f（x）为偶函数且在（0，+∞）上单调递增；
∵$f（\overrightarrow a•\overrightarrow b）≥f（|\overrightarrow a-\overrightarrow b|）$；
∴$\overrightarrow a•\overrightarrow b≥|\overrightarrow a-\overrightarrow b|$；
∴$m≥\sqrt{\frac{5}{4}{m^2}-2m+\frac{5}{4}}$且m＞0；
∴解得$4-\sqrt{11}≤m≤4+\sqrt{11}$；
∴m的取值范围为$[4-\sqrt{11}，4+\sqrt{11}]$．

点评 考查数量积的坐标运算，向量坐标的减法运算，以及偶函数和增函数的定义及判断，无理不等式的解法．