Question

【题目】已知函数，.

（Ⅰ）若函数在处的切线垂直于轴，求函数的极值；

（Ⅱ）若函数有两个零点，，求实数的取值范围，并证明：.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）的极小值为0；（Ⅱ），证明见解析.

【解析】

（Ⅰ）求出求出，进而求出的解，得出单调区间，即可求出结论；

（Ⅱ）代入解析式得函数值为0，整理得，转化为证明，不妨设，只需证，根据函数单调性只需证，构造函数，，利用单调性证明恒成立，即可证明结论.

（Ⅰ），

，∴，∴，

令，，

，

∴的极小值为.

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，有两个零点，，

必须有且最小值

，

∴，∴，∴，

又∵当时，；

当时，，∴，

此时，，

∴，，

∴，

要证：，即证：，

即证：，即证：，

即证：，

不妨设，∴，∴，

即证：，

即证：，

令

，

，

当且仅当时取“”，

∴在上为增函数，

∴，∴成立，

∴成立.