【题目】设是数列
的前n项和,对任意
都有
,(其中k、b、p都是常数).
(1)当、
、
时,求
;
(2)当、
、
时,若
、
,求数列
的通项公式;
(3)若数列中任意(不同)两项之和仍是该数列中的一项,则称该数列是“封闭数列”。当
、
、
时,
.试问:是否存在这样的“封闭数列”
.使得对任意
.都有
,且
.若存在,求数列
的首项
的所有取值的集合;若不存在,说明理由.
【答案】(1);(2)
;(3)
.
【解析】
(1)得到
,
时化简得到
,根据等比数列公式得到答案.
(2)根据题意化简得到,再代换得到
,确定数列为等差数列,代入数据计算得到答案.
(3)根据(2)知数列为等差数列,取得到
,根据封闭数列定义得到
,得到
,再排除
的情况得到答案.
(1)当、
、
时,得到
当时,
;
当时,
,化简得到
;
故
(2)当、
、
时,得到
当时,
,两式相减化简得到
;
代换
得到
,两式相减化简得到
故数列为等差数列:,
,解得
,
故
(3)当、
、
时,根据(2)知,数列为等差数列.
,即
,
取时,
,根据封闭数列定义得到
故
当时,
,则
取得到
,排除;
当时,
,
则,满足;
当时,易知
小于
时对应的值,成立;
综上所述:
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【题目】如图,在四棱锥P-ABCD中,平面PCD,
,
,
,E为AD的中点,AC与BE相交于点O.
(1)证明:平面ABCD.
(2)求直线BC与平面PBD所成角的正弦值.
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【题目】已知函数,其中
为常数,且
.
(1)若是奇函数,求
的取值集合
;
(2)当时,设
的反函数
,且
的图象与
的图象关于
对称,求
的取值集合
;
(3)对于问题(1)(2)中的、
,当
时,不等式
恒成立,求
的取值范围.
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【题目】定义:直线关于圆的圆心距单位圆心到直线的距离与圆的半径之比.
(1)设圆,求过点
的直线关于圆
的圆心距单位
的直线方程.
(2)若圆与
轴相切于点
,且直线
关于圆
的圆心距单位
,求此圆
的方程.
(3)是否存在点,使过点
的任意两条互相垂直的直线分别关于相应两圆
与
的圆心距单位始终相等?若存在,求出相应的
点坐标;若不存在,请说明理由.
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【题目】设集合由满足下列两个条件的数列
构成:①
②存在实数
使
对任意正整数
都成立.
(1)现在给出只有5项的有限数列其中
;
试判断数列
是否为集合
的元素;
(2)数列的前
项和为
且对任意正整数
点
在直线
上,证明:数列
并写出实数
的取值范围;
(3)设数列且对满足条件②中的实数
的最小值
都有
求证:数列
一定是单调递增数列.
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【题目】已知曲线的参数方程为
(
为参数),在同一平面直角坐标系中,将曲线
上的点按坐标变换
得到曲线
,以原点为极点,
轴的正半轴为极轴,建立极坐标系.设
点的极坐标为
.
(1)求曲线的极坐标方程;
(2)若过点且倾斜角为
的直线
与曲线
交于
两点,求
的值.
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【题目】已知数列{an}、{bn}满足:a1=,an+bn=1,bn+1=
.
(1)求a2,a3;
(2)证数列为等差数列,并求数列{an}和{bn}的通项公式;
(3)设Sn=a1a2+a2a3+a3a4+…+anan+1,求实数λ为何值时4λSn<bn恒成立.
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