【题目】已知函数.
(1)讨论函数的极值点的个数;
(2)若有两个极值点
,证明:
.
【答案】(1)答案不唯一,具体见解析;(2)证明见解析.
【解析】
(1)求出函数的导数,通过讨论的范围,得到函数的单调区间,从而求出函数的极值点;
(2)由(1)可知,当且仅当时,
有两个极值点
,且
为方程
的两根,
,求出
,根据函数的单调性证明即可.
(1).
①当时,
.
当时,
,所以
在
上单调递增;
当时,
,所以
在
上单调递减.
即函数只有一个极大值点
,无极小值点.
②当时,
,
令,得
.
当时,
,
所以在
上单调递增;
当时,
,
所以在
上单调递减.
即函数有一个极大值点
,有一个极小值点
.
③当时,
,此时
恒成立,
即在
上单调递增,无极值点.
综上所述,当时,
有且仅有一个极大值点,即只有1个极值点;
当时,
有一个极大值点和一个极小值点,即有2个极值点;
当时,
没有极值点.
(2)由(1)可知,当且仅当时,
有两个极值点
,且
为方程
的两根,
即,
所以
.
令,
则恒成立,
所以在
上单调递增,
所以,
即.
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】已知是定义在
上的函数,记
,
的最大值为
.若存在
,满足
,则称一次函数
是
的“逼近函数”,此时的
称为
在
上的“逼近确界”.
(1)验证:是
的“逼近函数”;
(2)已知.若
是
的“逼近函数”,求
的值;
(3)已知的逼近确界为
,求证:对任意常数
,
.
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】设是数列
的前n项和,对任意
都有
,(其中k、b、p都是常数).
(1)当、
、
时,求
;
(2)当、
、
时,若
、
,求数列
的通项公式;
(3)若数列中任意(不同)两项之和仍是该数列中的一项,则称该数列是“封闭数列”。当
、
、
时,
.试问:是否存在这样的“封闭数列”
.使得对任意
.都有
,且
.若存在,求数列
的首项
的所有取值的集合;若不存在,说明理由.
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】设椭圆的右焦点为
,离心率为
,过点
且与
轴垂直的直线被椭圆截得的线段长为
.
(1)求椭圆的方程;
(2)若上存在两点
,椭圆
上存在两个
点满足:
三点共线,
三点共线,且
,求四边形
的面积的最小值.
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