【题目】已知函数.
(1)函数在
处的切线
过点
,求
的方程;
(2)若且函数
有两个零点,求
的最小值.
【答案】(1)即
;(2)8.
【解析】
(1)首先求出在处的切线方程,然后代入点
,求参数
的值;
(2)首先利用导数判断函数的单调性和最小值,因为有两个零点,所以
即
得
,再根据零点存在性定理证明
在
上有一个零点,在
上有一个零点,得到
的最小值.
(1)因为,
所以,
所以又
,
所以在
处切线
方程为
,
即.
又因为直线过点
,所以得
即
.
所以直线方程为
即
.
(2)因为.
令得
即
,
因为所以
,
所以当时,
,当
时,
,
则在
上单调递减,在
上单调递增,
所以.
因为有两个零点,所以
即
得
,
又因为,
.
设
则,因为
在
上单调递增,
所以,所以
在
单调递增,
所以.
又,所以
,
故在
上有一个零点,在
上有一个零点,
即在
上有两个零点,
则又
且
,
所以得最小值为8.
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】近年来,随着网络的普及,数码产品早已走进千家万户的生活,为了节约资源,促进资源循环利用,折旧产品回收行业得到迅猛发展,电脑使用时间越长,回收价值越低,某二手电脑交易市场对2018年回收的折旧电脑交易前使用的时间进行了统计,得到如图所示的频率分布直方图,在如图对时间使用的分组中,将使用时间落入各组的频率视为概率.
(1)若在该市场随机选取1个2018年成交的二手电脑,求其使用时间在上的概率;
(2)根据电脑交易市场往年的数据,得到如图所示的散点图及一些统计量的值,其中(单位:年)表示折旧电脑的使用时间,
(单位:百元)表示相应的折旧电脑的平均交易价格.
由散点图判断,可采用作为该交易市场折旧电脑平均交易价格与使用年限
的回归方程,若
,
,选用如下参考数据,求
关于
的回归方程,并预测在区间
(用时间组的区间中点值代表该组的值)上折旧电脑的价格.
5.5 | 8.5 | 1.9 | 301.4 | 79.75 | 385 |
附:参考公式:对于一组数据,其回归直线
的斜率和截距的最小二乘估计分别为:
,
.参考数据:
,
,
,
,
.
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】在直角坐标系中,曲线
的参数方程为
,(
为参数),将曲线
经过伸缩变换
后得到曲线
,在以原点为极点,
轴正半轴为极轴的极坐标系中,直线
的极坐标方程为
.
(1)说明曲线是哪一种曲线,并将曲线
的方程化为极坐标方程;
(2)已知点是曲线
上的任意一点,求点
到直线
的距离的最小值.
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【题目】学校艺术节对四件参赛作品只评一件一等奖,在评奖揭晓前,甲,乙,丙,丁四位同学对这四件参赛作品预测如下:
甲说:“是或
作品获得一等奖”; 乙说:“
作品获得一等奖”;
丙说:“ 两件作品未获得一等奖”; 丁说:“是
作品获得一等奖”.
评奖揭晓后,发现这四位同学中只有两位说的话是对的,则获得一等奖的作品是_________.
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【题目】如图1,平面五边形中,
,
,
,
,
是边长为2的正三角形.现将
沿
折起,得到四棱锥
(如图2),且
.
(1)求证:平面平面
;
(2)在棱上是否存在点
,使得
平面
?若存在,求
的值;若不存在,请说明理由.
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】如图,设抛物线C1:的准线1与x轴交于椭圆C2:
的右焦点F2,F1为C2的左焦点.椭圆的离心率为
,抛物线C1与椭圆C2交于x轴上方一点P,连接PF1并延长其交C1于点Q,M为C1上一动点,且在P,Q之间移动.
(1)当取最小值时,求C1和C2的方程;
(2)若△PF1F2的边长恰好是三个连续的自然数,当△MPQ面积取最大值时,求面积最大值以及此时直线MP的方程.
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【题目】某高校进行自主招生选拔,分笔试和面试两个阶段进行,规定分数不小于笔试成绩中位数的具有面试资格.现有1000余名学生参加了笔试考试,所有学生的成绩均在区间内,其频率分布直方图如图.
(1)求获得面试资格应划定的最低分数线;
(2)从笔试得分在区间的学生中,利用分层抽样的方法随机抽取7人,那么从得分在区间
与
各抽取多少人?
(3)从(2)抽取的7人中,选出4人参加学校座谈交流,学校打算给这4人一定的物质奖励,若该生分数在给予300元物质奖励,若该生分数在
给予500元物质奖励,用
表示学校发的奖金数额,求
的分布列和数学期望.
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