【题目】如图，设抛物线C1:
的准线1与x轴交于椭圆C2：
的右焦点F2，F1为C2的左焦点.椭圆的离心率为
，抛物线C1与椭圆C2交于x轴上方一点P，连接PF1并延长其交C1于点Q，M为C1上一动点，且在P，Q之间移动.
（1）当
取最小值时，求C1和C2的方程；
（2）若△PF1F2的边长恰好是三个连续的自然数，当△MPQ面积取最大值时，求面积最大值以及此时直线MP的方程.
【答案】（1）
,
；
（2）面积最大值为
，此时
.
【解析】
（1）由题意，
和
，得到
，
，根据
取最小值时
，即可求得抛物线和椭圆的方程；
（2）用
表示出椭圆的方程，联立方程组得出
点的坐标，计算出
的三边关于的式子，从而确定实数的值，求出
得距离和
到直线的距离，利用二次函数的性质，求得
面积取最大值，即可求解．
（1）由题意，抛物线
的准线方程为
，
椭圆
的右焦点
，所以，
又由，则，，所以取最小值时，
所以抛物线C1:，
又由
，
，所以椭圆C2的方程为．
（2）因为，，则，，
设椭圆的标准方程为
，
，
联立方程组
，得
，
所以
或
（舍去），代入抛物线方程得
，即
，于是
，
，
，
又的边长恰好是三个连续的自然数，所以
，
此时抛物线方程为
，
，
，
则直线PQ的方很为
，联立
，得
或
（舍去），于是
.所以
，
设
到直线的距离为
，则
，
当
时，
，
所以的面积最大值为
，
此时MP：
.
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【题目】如图，矩形
中，
，
是
边上异于端点的动点，
于点
，将矩形
沿
折叠至
处，使面
面
.点
分别为
的中点.
（1）证明：
//面
；
（2）设
，当x为何值时，四面体
的体积最大，并求出最大值.
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【题目】已知抛物线
（
）上的两个动点
和
，焦点为F.线段
的中点为
，且点到抛物线的焦点F的距离之和为8
（1）求抛物线的标准方程；
（2）若线段
的垂直平分线与x轴交于点C，求
面积的最大值.
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【题目】已知
，给定
个整点
,其中
.
（Ⅰ）当
时,从上面的
个整点中任取两个不同的整点
，求
的所有可能值；
（Ⅱ）从上面个整点中任取
个不同的整点，
.
（i）证明：存在互不相同的四个整点
，满足
,
；
（ii）证明：存在互不相同的四个整点
，满足
,
.
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【题目】某种“笼具”由内，外两层组成，无下底面，内层和外层分别是一个圆锥和圆柱，其中圆柱与圆锥的底面周长相等，圆柱有上底面，制作时需要将圆锥的顶端剪去，剪去部分和接头忽略不计，已知圆柱的底面周长为
，高为
，圆锥的母线长为
.
（1）求这种“笼具”的体积（结果精确到0.1
）；
（2）现要使用一种纱网材料制作50个“笼具”，该材料的造价为每平方米8元，共需多少元？
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【题目】为了研究国民收入在国民之间的分配，避免贫富过分悬殊，美国统计学家劳伦茨提出了著名的劳伦茨曲线，如图所示．劳伦茨曲线为直线
时，表示收入完全平等，劳伦茨曲线为折线
时，表示收入完全不平等.记区域
为不平等区域，
表示其面积，
为
的面积．将
，称为基尼系数．对于下列说法：
①
越小，则国民分配越公平；
②设劳伦茨曲线对应的函数为
，则对
，均有
；
③若某国家某年的劳伦茨曲线近似为
，则
；
其中正确的是：（ ）
A.①②B.①③C.②③D.①②③
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【题目】在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为
，在以O为极点，x轴的非负半轴为极轴的极坐标系中，直线l的极坐标方程为
．
（1）设曲线C与直线l的交点为A、B，求弦AB的中点P的直角坐标；
（2）动点Q在曲线C上，在（1）的条件下，试求△OPQ面积的最大值．
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