【题目】已知函数.
(1)求曲线在点处的切线方程;
(2)求的单调区间;
(3)若对于任意,都有,求实数的取值范围.
【答案】(1)(2)的单调递增区间是;的单调递减区间是(3).
【解析】
(1)先求得导函数,由导数的几何意义求得切线的斜率,再求得切点坐标,即可由点斜式得切线方程;
(2)求得导函数,并令求得极值点,结合导函数的符号即可判断函数单调区间;
(3)将不等式变形,并分离参数后构造函数,求得并令求得极值点,结合极值点左右两侧的单调性和端点求得最值,即可确定的取值范围.
(1)因为函数,
所以,.
又因为,则切点坐标为,
所以曲线在点处的切线方程为.
(2)函数定义域为,
由(1)可知,.
令解得.
与在区间上的情况如下:
- | 0 | + | |
↘ | 极小值 | ↗ |
所以,的单调递增区间是;
的单调递减区间是.
(3)当时,“”等价于“”.
令,,,.
令解得,
当时,,所以在区间单调递减.
当时,,所以在区间单调递增.
而,.
所以在区间上的最大值为.
所以当时,对于任意,都有.
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【题目】已知曲线C上的动点P()满足到定点A(-1,0)的距离与到定点B(1,0)距离之比为
(1)求曲线C的方程。
(2)过点M(1,2)的直线与曲线C交于两点M、N,若|MN|=4,求直线的方程。
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【题目】已知随机变量X服从正态分布N(100,100),则下列选项正确的是( )
(参考数值:随机变量ξ服从正态分布,则P(μ﹣σ<ξ<μ+σ)=0.6826),P(μ﹣2σ<ξ<μ+2σ)=0.9544,P(μ﹣3σ<ξ<μ+3σ)=0.9974)
A.E(X)=100B.D(X)=100
C.P(X≥90)=0.8413D.P(X≤120)=0.9987
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【题目】(本小题10分)选修4—4:坐标系与参数方程
已知曲线C1的参数方程为(t为参数),以坐标原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C2的极坐标方程为ρ=2sinθ。
(Ⅰ)把C1的参数方程化为极坐标方程;
(Ⅱ)求C1与C2交点的极坐标(ρ≥0,0≤θ<2π)
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【题目】在平面直角坐标系中,已知直线的参数方程为(为参数).在以坐标原点为极点,轴的正半轴为极轴,且与直角坐标系长度单位相同的极坐标系中,曲线的极坐标方程是.
(1)求直线的普通方程与曲线的直角坐标方程;
(2)设点.若直与曲线相交于两点,求的值.
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【题目】《最强大脑》是江苏卫视引进德国节目《SuperBrain》而推出的大型科学竞技真人秀节目.节目筹备组透露挑选选手的方式:不但要对空间感知、照相式记忆进行考核,而且要让选手经过名校最权威的脑力测试,120分以上才有机会入围.某重点高校准备调查脑力测试成绩是否与性别有关,在该高校随机抽取男、女学生各100名,然后对这200名学生进行脑力测试.规定:分数不小于120分为“入围学生”,分数小于120分为“未入围学生”.已知男生入围24人,女生未入围80人.
(1)根据题意,填写下面的列联表,并根据列联表判断是否有以上的把握认为脑力测试后是否为“入围学生”与性别有关;
性别 | 入围人数 | 未入围人数 | 总计 |
男生 | 24 | ||
女生 | 80 | ||
总计 |
(2)用分层抽样的方法从“入围学生”中随机抽取11名学生,然后再从这11名学生中抽取3名参加某期《最强大脑》,设抽到的3名学生中女生的人数为,求的分布列及数学期望.
附:,其中.
0.10 | 0.05 | 0.025 | 0.010 | 0.005 | 0.001 | |
2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 | 7.879 | 10.828 |
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【题目】已知直线l1:3x﹣y﹣1=0,l2:x+2y﹣5=0,l3:x﹣ay﹣3=0不能围成三角形,则实数a的取值可能为( )
A.1B.C.﹣2D.﹣1
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【题目】在直角坐标系xOy中,已知直线l过点P(2,2).以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C的极坐标方程为ρ﹣ρcos2θ﹣4cosθ=0.
(1)求C的直角坐标方程;
(2)若l与C交于A,B两点,求的最大值.
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