Question

【题目】已知函数.

（Ⅰ）当时，求的单调区间；

（Ⅱ）设函数，当时，若是的唯一极值点，求.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）的单调递增区间为，单调递减区间.（Ⅱ）

【解析】

（Ⅰ）当时，，定义域为．，令，解得．即可得出单调性．

（Ⅱ）由题意可得：，，求出导函数．

由于是的唯一极值点，则有以下两种情形：情形一：对恒成立．情形二：对恒成立．

设，，．．对分类讨论，利用导数研究函数的单调性极值与最值即可得出．

解：（Ⅰ）∵，∴当时，，

定义域，，

令，得.当时，，在上单调递增；

当时，，在上单调递减.

综上，的单调递增区间为，单调递减区间.

（Ⅱ）由题意，，，

，，

由于是的唯一极值点，则有以下两种情形：

（1）对任意恒成立；

（2）对任意恒成立；

设，，且有，，

①当时，，，

当时，，在上单调递减；

当时，，在上单调递增；

所以对任意的恒成立，符合题意.

②当时，，，∵，

∴在单调递增.

又，，所以存在，使得，

当时，，在上单调递增，

所以，这与题意不符，故.