Question

【题目】已知椭圆 离心率等于，、是椭圆上的两点.

（1）求椭圆的方程；

（2）是椭圆上位于直线两侧的动点.当运动时，满足，试问直线的斜率是否为定值？如果为定值，请求出此定值；如果不是定值，请说明理由.

Answer 1

【答案】（1）；（2）定点

【解析】

（1）由题意列式关于a，b，c的方程组，求解可得a，b的值，则椭圆C的方程可求；

（2）设直线PA的斜率为k，则PB的斜率为﹣k，PA的直线方程为y﹣3＝k（x﹣2）将直线的方程代入椭圆的方程，消去y得到关于x的一元二次方程，再结合根系数的关系利用弦长公式即可求得x1+2，同理PB的直线方程为y﹣3＝﹣k（x﹣2），可得x2+2，从而得出AB的斜率为定值．

解：（1）由题意可得，解得a＝4，b，c＝2．

∴椭圆C的方程为；

（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），

当∠APQ＝∠BPQ，则PA、PB的斜率之和为0，设直线PA的斜率为k，

则PB的斜率为﹣k，直线PA的直线方程为y﹣3＝k（x﹣2），

联立，得（3+4k2）x2+8k（3﹣2k）x+4（3﹣2k）2﹣48＝0．

∴．

同理直线PB的直线方程为y﹣3＝﹣k（x﹣2），

可得．

∴，，

，

∴AB的斜率为定值．