Question

16．已知2$\sqrt{2}$cos²$\frac{α}{2}$-2$\sqrt{2}$sin$\frac{α}{2}$cos$\frac{α}{2}$=$\frac{6}{5}$+$\sqrt{2}$，α∈（0，$\frac{π}{2}$）．
（1）求sinα；
（2）求tan（α-$\frac{π}{4}$）．

Answer 1

分析 （1）首先，利用降幂公式和二倍角公式化简所给式子，然后，利用平方关系进行求解．
（2）直接根据两角差的正切公式进行展开，将tanα=$\frac{1}{7}$的值代入求解即可．

解答 解：2$\sqrt{2}$cos²$\frac{α}{2}$-2$\sqrt{2}$sin$\frac{α}{2}$cos$\frac{α}{2}$=$\sqrt{2}$（1+cosα）-$\sqrt{2}$sinα=$\frac{6}{5}$+$\sqrt{2}$，
∴$\sqrt{2}$（cosα-sinα）=$\frac{6}{5}$，
∴cosα-sinα=$\frac{3\sqrt{2}}{5}$，①
∴1-2sinαcosα=$\frac{18}{25}$，
∴2sinαcosα=$\frac{7}{25}$，
∵α∈（0，$\frac{π}{2}$）．
∴sinα+cosα=$\sqrt{1+2sinαcosα}$=$\frac{4\sqrt{2}}{5}$，②
结合①②，得
sinα=$\frac{\sqrt{2}}{10}$，cosα=$\frac{7\sqrt{2}}{10}$，
（2）结合（1），得
tanα=$\frac{1}{7}$，
∴tan（α-$\frac{π}{4}$）=$\frac{tanα-1}{1+tanα}$=$\frac{\frac{1}{7}-1}{1+\frac{1}{7}}$=-$\frac{3}{4}$．

点评 本题重点考查了二倍角公式、平方关系、三角公式等知识，属于中档题．