Question

11．已知函数f（x）=3cos（2x+$\frac{π}{6}$），给出下列四个命题：
①表达式可改写为f（x）=3sin（2x+$\frac{2π}{3}$）；
②由f（x₁）=f（x₂）=0可知x₁-x₂必是π的整数倍；
③f（x）的图象关于点（$\frac{5π}{12}$，0）对称；
④对所有的x∈R都有f（x+$\frac{5π}{12}$）=f（-x+$\frac{5π}{12}$）成立；
其中正确的命题是①④．

Answer 1

分析 利用诱导公式，对函数解析式进行变形，可判断①；根据对称中心之间相差必是$\frac{π}{2}$的整数倍，可判断②；求出函数对称中心的坐标，可判断③；根据x=$\frac{5π}{12}$是函数图象的对称轴，可判断④．

解答 解：∵f（x）=3sin（2x+$\frac{2π}{3}$）=3sin[（2x+$\frac{π}{6}$）+$\frac{π}{2}$]=3cos（2x+$\frac{π}{6}$），故①正确；
若f（x₁）=f（x₂）=0，则x₁-x₂必是$\frac{T}{2}$的整数倍，由T=π，可得x₁-x₂必是$\frac{π}{2}$的整数倍，但不一定是π的整数倍，故②错误；
由2x+$\frac{π}{6}$=$\frac{π}{2}$+kπ，k∈Z得：x=$\frac{π}{6}$+$\frac{1}{2}$kπ，k∈Z，不存在整数k使$\frac{π}{6}$+$\frac{1}{2}$kπ=$\frac{5π}{12}$，故点（$\frac{5π}{12}$，0）不是函数图象的对称中心，故③错误；
由2x+$\frac{π}{6}$=kπ，k∈Z得：x=$-\frac{π}{12}$+$\frac{1}{2}$kπ，k∈Z，当k=1时，$\frac{π}{6}$+$\frac{1}{2}$kπ=$\frac{5π}{12}$，x=$\frac{5π}{12}$是函数图象的对称轴，故对所有的x∈R都有f（x+$\frac{5π}{12}$）=f（-x+$\frac{5π}{12}$）成立，故④正确；
故正确的命题是：①④，
故答案为：①④

点评 本题以命题的真假判断为载体，考查三角函数的图象和性质，熟练掌握三角函数的图象和性质，是解答的关键．