Question

一位学生每天骑自行车上学,从他家到学校共有5个交通岗,假设他在每个交通岗遇到红灯是相互独立的,且首末两个交通岗遇到红灯的概率均为p,其余3个交通岗遇到红灯的概率均为.

(1)若p=,求该学生在第三个交通岗第一次遇到红灯的概率;

(2)若该学生至多遇到一次红灯的概率不超过,求p的取值范围.

Answer 1

解:(1)记该学生在第i个交通岗遇到红灯事件为A_i(i=1,2,…,5),它们相互独立,则“这名学生在第三个交通岗第一次遇到红灯”为··A₃.

P(··A₃)=P()·P()·P(A₃)=(1-)×(1-)×=.

答:这名学生在第三个交通岗第一次遇到红灯的概率为.                        

 

(2)过首末两个路口,过中间三个路口分别看作独立重复试验.

该学生至多遇到一次红灯指没有遇红灯(记为A)或恰好遇到一次红灯(记为B),

则A与B互斥.

P(A)=(1-p)²·(1-)³=(1-p)²,                                         

P(B)=(1-p)²·(1-)²+p(1-p)·(1-)³

=(1-p)²+p(1-p).                                                          

这名学生至多遇到一次红灯为A+B,

P(A+B)=P(A)+P(B)=(1-p)²+(1-p)²+p(1-p)=(p²-3p+2),

故(p²-3p+2)≤,即9p²-27p+8≤0,

解得≤p≤.                                                            

又0≤p≤1,所以p的取值范围为［,1］.