Question

已知向量

OA

=(λcosα，λsinα)（λ≠0），

OB

=(-sinβ，cosβ)，其中O为坐标原点．
（Ⅰ）若β=α-

π

3

，求向量

OA

与

OB

的夹角；
（Ⅱ）若|

AB

|≥2|

OB

|对任意实数α、β都成立，求实数λ的取值范围．

Answer 1

分析：（Ⅰ）首先利用向量模的坐标公式求出向量

OA

、

OB

的长度，从而得到

OA

•

OB

=|λ|cosθ，然后利用向量数理积的坐标公式，得到

OA

•

OB

=λsin（β-α）=-

3

2

λ，最后解关于夹角θ的方程，可得向量

OA

与

OB

的夹角；
（Ⅱ）代入（1）的运算结果，将不等式|

AB

|≥2|

OB

|整理为：λ²-2λsin（β-α）-1≥0对任意实数α、β都成立，再结合正弦函数的有界性，建立关于λ的不等式组，解之可得满足条件的实数λ的取值范围．

解答：解：（Ⅰ）∵

OA

=(λcosα，λsinα)，

OB

=(-sinβ，cosβ)
∴|

OA

|=

(λcosα) 2+(λsinα) 2

=|λ|，|

OB

|=

(-sinβ) 2+(cosβ) 2

=1
设向量

OA

与

OB

的夹角为θ，得

OA

•

OB

=|

OA

||

OB

|  cosθ=|λ|cosθ
又∵

OA

•

OB

=λcosα(-sinβ)+(λsinα)cosβ
=λsin（α-β）=

3

2

λ
∴|λ|cosθ=

3

2

λ⇒cosθ=±

3

2

∵θ∈[0，π]
∴θ=

π

6

或

5π

6

（Ⅱ）|

AB

| 2=(

OB

-

OA

) 2= | 

OA

| 2-2

OA

•

OB

+|

OB

| 2
代入（1）的运算结果|

OA

| =|λ|，|

OB

|=1，

OA

•

OB

=λsin（α-β），
得|

AB

| 2=λ 2-2λsin(α-β)+1
不等式|

AB

|≥2|

OB

|化为：λ²-2λsin（α-β）+1≥4，
即λ²-2λsin（α-β）-3≥0对任意实数α、β都成立
∵-1≤sin（α-β）≤1
∴

λ 2-2λ-3≥0 λ 2+2λ-3≥0

⇒λ≤-3或λ≥3
∴实数λ的取值范围是（-∞，-3]∪[3，+∞）

点评：本题综合了平面向量的数量积、和与差的三角函数以及不等式恒成立等知识点，属于难题．解题时应该注意等价转化和函数方程思想的运用．