Question

已知函数F（x）=．
（I）求F（）+F（）+…+F（）；
（II）已知数列{a_n}满足a₁=2，a_n+1=F（a_n），证明{}为等差数列（n∈N^*），并求数列{a_n}的通项公式；
（III）已知若b＞a＞0，c＞0，则必有，利用此结论，求证：a₁a₂…a_n＞（n∈N^*）．

Answer 1

解：（I）∵F（x）=，
∴F（x）+F（1-x）=
===3，
设S=F（）+F（）+…+F（），①
则S=F（）+F（）+…+F（），②
①+②，得2S=[F（）+F（）]+[F（）+F（）]+…+[F（）+F（）]=3×2010=6030，
∴S=3015，
∴F（）+F（）+…+F（）=3015．
（II）将等式a_n+1=F（a_n）的两边同时减去1，
得=，
∴==2+，
即，又，
∴数列{}是以2为公差，1为首项的等差数列，
所以=2n-1，
所以=．
（III）∵，
∴=，
∴＞，
∴a₁a₂…a_n＞=（n∈N^*）．
分析：（I）由F（x）=，得F（x）+F（1-x）=3，设S=F（）+F（）+…+F（），利用倒序相加法能求出F（）+F（）+…+F（）的值．
（II）将等式a_n+1=F（a_n）的两边同时减去1，得=，由此能证明证明{}为等差数列（n∈N^*），并求数列{a_n}的通项公式．
（III）由，得＞，由此能够证明a₁a₂…a_n＞（n∈N^*）．
点评：本题考查数列的通项公式的求法，考查等差数列的证明，解题时要认真审题，仔细解答，注意构造法和放缩法的合理运用．