Question

如图，ABCD是正方形，DE⊥平面ABCDAF∥DE，DE=DA=2AF=2．
（Ⅰ） 求证：AC⊥平面BDE；
（Ⅱ） 求证：AC∥平面BEF；
（Ⅲ） 求四面体BDEF的体积．

Answer 1

（Ⅰ）证明：因为DE⊥平面ABCD，AC?平面ABCD，所以DE⊥AC．…（1分）
又因为ABCD是正方形，所以AC⊥BD，…（2分）
因为DE∩BD=D…（3分）
由线面垂直的判定定理可得：AC⊥平面BDE．…（4分）
（Ⅱ）证明：设AC∩BD=O，取BE中点G，连结FG，OG，
所以OG∥DE，且OG=DE，因为AF∥DE，DE=2AF，
所以AF∥OG，AF=OG，所以，OG∥，且OG=．…（5分）
因为AF∥DE，DE=2AF，所以AF=OG，且AF∥OG…（6分）
故可得四边形AFGO是平行四边形，所以FG∥AO．…（7分）
因为FG?平面BEF，AO?平面BEF，…（8分）
所以AO∥平面BEF，即AC∥平面BEF．…（9分）
（Ⅲ）解：因为DE⊥平面ABCD，所以 DE⊥AB
因为正方形ABCD中，AB⊥AD，所以AB⊥平面ADEF．…（11分）
因为AF∥DE，DE=DA=2AF=2，
所以△DEF的面积为，
所以四面体BDEF的体积==．…（14分）
分析：（Ⅰ） 由题意可得DE⊥AC，AC⊥BD，由线面垂直的判定定理可得；
（Ⅱ） 设AC∩BD=O，取BE中点G，连结FG，OG，可证AFGO是平行四边形，所以FG∥AO，线面平行的判定定理可得；
（Ⅲ）可得AB⊥平面ADEF，结合已知数据，代入体积公式可得答案．
点评：本题考查直线与平面平行和垂直的判定，涉及四面体体积的求解，属中档题．