Question

如图，在侧棱垂直于底面的三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，底面△ABC为等腰直角三角形，∠B=90°D为棱BB₁的中点．
（1）求证：面DA₁C⊥面AA₁C₁C；
（2）若

AA1

AB

=

2

，求二面角A-A₁D-C的大小．

Answer 1

分析：（1）连接A₁C与AC₁交于点F，连接EF，欲证平面A₁EC⊥平面AA₁C₁C，根据面面垂直的判定定理可知在平面A₁EC内一直线与平面AA₁C₁C垂直，而根据线面垂直的判定定理可得EF⊥面AA₁C₁C，满足定理条件；
（2）延长DA₁交AB的延长线于点G，过B作BH⊥A₁G于H，边CH，则A₁⊥CH，根据二面角平面角的定义可知∠CHB为二面角A-A₁D-C的平面角，利用解直角三角形可得二面角A-A₁D-C的大小．

解答：证明：（1）取A₁C的中点E，取AC的中点F，连接EF，DE，BF．
则由条件可得DE∥BF，又面BAC⊥面AA₁C₁C且交于AC，∴BF⊥AC，
BF⊥面AA₁C₁C，∴DE⊥面AA₁C₁C
而DE?面DA₁C，所以平面DA₁C⊥平面AA₁C₁C．
（2）延长DA₁交AB的延长线于点G，则有CB⊥平面AA₁B₁C
过B作BH⊥A₁G于H，边CH，则A₁G⊥CH，
所以∠CHB为二面角A-A₁D-C的平面角．
设AA₁=2h，AB=BC=

2

h，在直角三角形A₁AG中，AB=BG，
在直角三角形DBG中，HB=

BD•BG

DG

=

6 h

3

，
在直角三角形CHB中，tan∠CHB=

2 h

6 3 h

=

3

，
∴∠CHB=60°．

点评：本小题主要考查平面与平面垂直的判定，以及二面角及其度量等有关基础知识，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力，考查转化思想，属于基础题．