Question

7．方程x³-3x²-a=0满足下列条件时，则a的值或范围．
（1）恰有一个实根；
（2）有两个不等实根；
（3）三个不等实根；
（4）有没有可能无实根．

Answer 1

分析 方程x³-3x²-a=0即为a=x³-3x²，令f（x）=x³-3x²，求出导数，求得单调区间和极值，画出函数f（x）的图象，通过直线y=k与f（x）的图象的交点个数，即可得到k的取值时，实根的个数．

解答 解：方程x³-3x²-a=0即为
a=x³-3x²，
令f（x）=x³-3x²，f′（x）=3x²-6x，
由f′（x）＞0，可得x＞2或x＜0；由f′（x）＜0，可得0＜x＜2，
即f（x）的减区间为（0，2），增区间为（-∞，0），（2，+∞），
即有x=0处取得极大值0，x=2处取得极小值-4，
函数f（x）的图象如右：
（1）当a＞0或a＜-4时，方程恰有一个实根；
（2）当a=0或a=-4时，方程有两个不等的实根；
（3）当-4＜a＜0时，方程有三个不等实根；
（4）由x→+∞，f（x）→+∞；x→-∞，f（x）→-∞，
则方程至少有一个实根，不可能没有实根．

点评 本题考查函数和方程的转化思想的运用，考查数形结合的思想方法，属于中档题．