Question

【题目】已知函数（）.

（Ⅰ）若函数，讨论的单调性；

（Ⅱ）若函数的导数的两个零点从小到大依次为，，证明：.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）函数单调性见解析；（Ⅱ）证明见解析.

【解析】

（Ⅰ）根据题意，求得，对参数进行分类讨论即可容易求得；

（Ⅱ）根据是的两根，求得之间的关系式，构造函数，根据其单调性即可证明.

（Ⅰ）∵∴（）.

当时，，

∴在上单调递增，在上单调递减；

当时，或，

∴在，上单调递增，在上单调递减；

当时，或，

∴在，上单调递增，在上单调递减；

当时，在上恒成立，

所以在上单调递增；

综上所述：

当时，在上单调递增，在上单调递减；

当时，在，上单调递增，在上单调递减；

当时，在，上单调递增，在上单调递减；

当时，在上单调递增.

（Ⅱ）∵（）.

且的两个零点从小到大依次为，

∴，是方程的两个根，

∴

又，且所以

欲证，即证

只需证

令（），

∴在上单调递增，上单调递减，

∴，

即成立.