Question

（本小题满分14分）设函数．

（Ⅰ）已知曲线在点处的切线的斜率为，求实数的值；

（Ⅱ）讨论函数的单调性；

（Ⅲ）在（Ⅰ）的条件下，求证：对于定义域内的任意一个，都有．

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ）.           

（Ⅱ）当时，函数在上单调递减；当时，函数在上单调递减，在上单调递增.                      

（Ⅲ）见解析.

【解析】对于对数函数问题，先列出定义域，的定义域为,再根据导数的几何意义在x处导数为x处切线斜率，列式；

求出导数，令导数>0,<0分类讨论a的范围，确定单调区间；

都有即

解：（Ⅰ）的定义域为,                             . ………1分

.                                             ………2分

根据题意，，

所以，即，

解得.                                                   .………4分

（Ⅱ）.

（1）当时，因为，所以，，

所以，函数在上单调递减.                   ………6分

（2）当时，

若，则，，函数在上单调递减；

若，则，，函数在上单调递增.  …8分

综上所述，当时，函数在上单调递减；当时，函数在上单调递减，在上单调递增.                          ………9分

（Ⅲ）由（Ⅰ）可知.

设，即.

.              ………10分

当变化时，，的变化情况如下表：

	－	0	＋
		极小值

是在上的唯一极值点，且是极小值点，从而也是的最小值点可见，                                       .………13分

所以，即，所以对于定义域内的每一个，都有.                                                   ………14分