Question

9．已知a_n=log_n（n+1），化简$\frac{1}{lo{g}_{{a}_{2}}10}$+$\frac{1}{lo{g}_{{a}_{3}}10}$+…+$\frac{1}{lo{g}_{{a}_{127}}10}$．

Answer 1

分析 运用换底公式log_aN=$\frac{lo{g}_{b}N}{lo{g}_{b}a}$，及变形公式log_ab•log_ba=1，以及对数的运算性质，化简即可得到结论．

解答 解：$\frac{1}{lo{g}_{{a}_{2}}10}$+$\frac{1}{lo{g}_{{a}_{3}}10}$+…+$\frac{1}{lo{g}_{{a}_{127}}10}$=lga₂+lga₃+lga₄+…+lga₁₂₇
=lg（a₂•a₃•a₄…a₁₂₇），
由a_n=log_n（n+1），可得a₂•a₃•a₄•…•a₁₂₇=log₂3•log₃4•log₄5•…•log₁₂₇128
=$\frac{lg3}{lg2}$•$\frac{lg4}{lg3}$•$\frac{lg5}{lg4}$…$\frac{lg128}{lg127}$=$\frac{lg128}{lg2}$=7．
即有lg（a₂•a₃•a₄•…•a₁₂₇）=lg7．
则$\frac{1}{lo{g}_{{a}_{2}}10}$+$\frac{1}{lo{g}_{{a}_{3}}10}$+…+$\frac{1}{lo{g}_{{a}_{127}}10}$=lg7．

点评 本题考查对数的换底公式的运用：化简和计算，注意变形公式：log_ab•log_ba=1的运用，考查对数的运算性质，属于中档题．