Question

4．命题：“?x∈R，x²+2ax+2-a=0”；命题q：已知函数f（x）=log₂（a-2^x）+x-2，f（x）存在零点，命题p∧q为真命题，求参数a的取值范围．

Answer 1

分析 分别求出关于p，q的a的范围，根据命题p∧q为真命题，取交集即可．

解答 解：关于命题p：“?x∈R，x²+2ax+2-a=0”，
∴△=4a²-4（2-a）≥0，解得：a≥1或a≤-2；
关于命题q：已知函数f（x）=log₂（a-2^x）+x-2，f（x）存在零点，
即方程2-x=log₂（a-2^x）有解，
∵方程2-x=log₂（a-2^x）可化为
2^2-x=a-2^x，
即方程a=2^x+2^2-x有解，
∵2^x+2^2-x=2^x+$\frac{4}{{2}^{x}}$≥2 $\sqrt{{2}^{x}•\frac{4}{{2}^{x}}}$=4，
∴实数a的取值范围是[4，+∞），
若命题p∧q为真命题，
则a≥4．

点评 本题考查了复合命题的判断，若函数有零点，则对应方程有根，如果函数的解析式有含有参数，则可以转化对应方程的形式，将方程改写为参数的函数，然后利用求函数值域的方法，进行求解．