Question

12．已知函数f（x）=$\frac{si{n}^{4}x+co{s}^{4}x}{sin（\frac{π}{2}+x）sin（\frac{π}{2}-x）}$．
（1）判断函数的奇偶性；
（2）若f（a）=$\frac{5}{2}$，且a∈（0，$\frac{π}{2}$），求a得值．

Answer 1

分析 （1）先判断函数的定义域关于原点对称，再得到f（-x）=f（x），结合偶函数的定义，可得结论；
（2）若f（a）=$\frac{si{n}^{4}a+co{s}^{4}a}{{cos}^{2}a}$=$\frac{5}{2}$，则cos²α=$\frac{1}{2}$，结合a∈（0，$\frac{π}{2}$），可得a得值．

解答 解：（1）∵函数f（x）=$\frac{si{n}^{4}x+co{s}^{4}x}{sin（\frac{π}{2}+x）sin（\frac{π}{2}-x）}$=$\frac{si{n}^{4}x+co{s}^{4}x}{{cos}^{2}x}$的定义域为{x|x≠$\frac{π}{2}$+kπ，k∈Z}关于原点对称，
且f（-x）=$\frac{si{n}^{4}（-x）+co{s}^{4}（-x）}{{cos}^{2}（-x）}$=$\frac{si{n}^{4}x+co{s}^{4}x}{{cos}^{2}x}$=f（x），
故函数f（x）为偶函数；
（2）若f（a）=$\frac{si{n}^{4}a+co{s}^{4}a}{{cos}^{2}a}$=$\frac{5}{2}$，
则$\frac{（1-{cos}^{2}a）^{2}+co{s}^{4}a}{{cos}^{2}a}$=$\frac{5}{2}$，
解得：cos²α=$\frac{1}{2}$，或cos²α=2（舍去），
又∵a∈（0，$\frac{π}{2}$），
∴cosa=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴a=$\frac{π}{4}$

点评 本题考查的知识点是函数的奇偶性，函数求值，难度中档．