Question

已知椭圆的左右焦点分别为F₁（-2，0），F₂（2，0）．在椭圆M中有一内接三角形ABC，其顶点C的坐标，AB所在直线的斜率为．
（Ⅰ）求椭圆M的方程；
（Ⅱ）当△ABC的面积最大时，求直线AB的方程．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）由椭圆的定义知．解出a的值，再由b²=a²-c²解出b的值即可得出椭圆的方程；
（II）由题意可直线AB的方程为，再由弦长公式用引入的参数m表示出弦长AB，再用m表示出点C到直线AB的距离，由三角形的面积公式将三角形的面积表示成m的函数，由基本不等式判断出面积最大时的m的值，即可求得直线AB的方程
解答：解：（Ⅰ）由椭圆的定义知．
解得 a²=6，所以b²=a²-c²=2．
所以椭圆M的方程为．…（4分）
（Ⅱ）由题意设直线AB的方程为，
由得．
因为直线AB与椭圆M交于不同的两点A，B，且点C不在直线AB上，
所以解得-2＜m＜2，且m≠0．
设A，B两点的坐标分别为（x₁，y₁），（x₂，y₂），
则，，，．
所以．
点到直线的距离．
于是△ABC的面积，
当且仅当，即时“=”成立．
所以时△ABC的面积最大，此时直线AB的方程为．
即为．…（13分）
点评：本题考查直线与圆锥曲线的综合问题，考查了弦长的求法，三角形的面积公式，基本不等式求最值，椭圆的定义，椭圆的标准方程的求法，熟练掌握相关的知识与技巧是解题的关键，本题考查了数形结合的思想，转化的思想，对公式的记忆与灵活运用能力，是综合性较强的题目