Question

已知抛物线C₁：x²=8y和圆C₂：x²+（y-2）²=4，直线l过C₁焦点，且与C₁，C₂交于四点，从左到右依次为A，B，C，D，则

AB

•

CD

=

4

．

Answer 1

分析：首先注意到

AB

，

CD

共线，因此则

AB

•

CD

=

|AB

|•|

CD

|=（AF-BF）（FD-CF），若设A、D的坐标分别为（x₁，y₁），（x₂，y₂）则根据抛物线定义有AF=y₁+2，FD=y₂+2，而BF，CF均为半径，这样只需求y₁•y₂，再设直线l的方程为y=kx+2，联立直线和抛物线的方程求出y₁•y₂，

解答：解：∵抛物线C₁：x²=8y的焦点为F（0，2），圆C₂：x²+（y-2）²=4的圆心为（0，2），∴直线l过圆C₂的圆心．
设直线l的方程为y=kx+2，A（x₁，y₁），D（x₂，y₂），联立

y=kx+2 x2=8y

，得y²-（4+8k²）y+4=0，
∴y₁•y₂=4
又根据抛物线定义得|AF|=y₁+

p

2

，FD=y₂+

p

2

，∴AF=y₁+2，FD=y₂+2
则

AB

•

CD

=

|AB

|•|

CD

|=（AF-BF）（FD-CF）
=（y₁+2-2）（y₂+2-2）=y₁•y₂=4．
故答案为4

点评：本题考查圆锥曲线的性质和应用，考查直线与抛物线的位置关系，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．关键抛物线的定义及巧妙将向量数量积转化．