Question

【题目】如图，点A与点A′在x轴上，且关于y轴对称，过点A′垂直于x轴的直线与抛物线y2=2x交于两点B，C，点D为线段AB 上的动点，点E在线段AC上，满足 ．

（1）求证：直线DE与此抛物线有且只有一个公共点；
（2）设直线DE与此抛物线的公共点F，记△BCF与△ADE的面积分别为S1、S2 ， 求 的值．

Answer 1

【答案】
（1）证明：设A（﹣2a2，0），A′（2a2，0），则B（2a2，2a），C（2a2，﹣2a），

设D（x1，y1）， =λ ， =λ ，

∴（x1+2a2，y1）=λ（4a2，2a），故D的坐标（（4λ﹣2）a2，2λa），

设E（x2，y2），由 =λ ，则（x2﹣2a2，y2+2a）=λ（﹣4a2，2a），

∴E（（2﹣4λ）a2，（2λ﹣2）a），

∴直线DE的斜率为kDE= = ，

直线DE的方程：y﹣2λa= [x﹣（2﹣4λ）a2]，

整理得：（4λ﹣2）ay﹣2λa（4λ﹣2）a=x﹣（4λ﹣2）a2，即x=2a（2λ﹣1）y﹣2a2（2λ﹣1）2，①

代入抛物线方程，y2=2[2a（2λ﹣1）y﹣2a2（2λ﹣1）2]，

整理得：y2﹣4a（2λ﹣1）y+4a2（2λ﹣1）2=0，②

此时方程②的两个根相等，y=2a（2λ﹣1），

代入①，整理得x=2a2（2λ﹣1）2，

∴直线DE与此抛物线有且仅有一个公共点F（2a2（2λ﹣1）2，2a（2λ﹣1））；

（2）解：由S1= ×丨BC丨×h= ×4a×（2a2﹣xF）=4a3（4λ﹣4λ2），

设直线DE与x轴交于点G，令y=0，代入方程①，x=2a（2λ﹣1）y﹣2a2（2λ﹣1）2，解得：x=2a2（2λ﹣1）2，

故丨AG丨=2a2﹣2a2（2λ﹣1）2=2a2（4λ﹣4λ2），

S2=S△ADG+S△AEG= ×丨AG丨×丨yD﹣yE丨=a2（4λ﹣4λ2）丨2λa﹣（2λ﹣2）a丨=2a3（4λ﹣4λ2），

∴ =2，

∴ 的值2．

【解析】（1）设A及B，C点坐标，根据相似关系，设 =λ ， =λ ，根据向量的坐标运算，求得D及E点坐标，求得直线DE的方程，将直线方程代入抛物线方程，有且仅有一个解，则直线DE与此抛物线有且只有一个公共点；（2）根据三角形的面积公式，求得S1，令y=0，求得G点坐标及丨AG丨，则S2=S△ADG+S△AEG= ×丨AG丨×丨yD﹣yE丨=2a3（4λ﹣4λ2），即可求得 的值．