Question

已知椭圆C₁：

y2

a2

+

x2

b2

=1（a＞b＞0）的短轴长为4，离心率为

2

2

，其一个焦点在抛物线C₂：x²=2py（p＞0）的准线上，过C₂的焦点F的直线交C₂于A、B两点，分别过A、B作C₂的切线，两切线交于点Q．
（Ⅰ）求C₁、C₂的方程；
（Ⅱ）当点Q在C₁内部运动时，求△QCD面积的取值范围．

Answer 1

分析：（I）由椭圆条件得

2b=4 c a = 2 2 a2-b2=c2

，解得即可．由于抛物线的焦点F与C₁的一个焦点重合，可得

p

2

=2，即可得到C₂的方程．
（II）由题意知直线AB的斜率存在且过点F（0，2），令A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂），设其方程为y=kx+2，与抛物线方联立可得根与系数的关系，由x²=8y得，y′=

1

4

x，即可得到切线AQ、BQ的方程，联立解得点Q的坐标，利用点Q在椭圆的内部可得k的取值范围．令C（x₃，y₃）、D（x₄，y₄），把直线AB的方程与椭圆方程联立可得根与系数的关系，进而得到弦长|CD|，利用点到直线的距离公式可得点Q到直线CD的距离，进而得到三角形△QCD的面积，利用导数即可得出其最值．

解答：解：（Ⅰ）由椭圆条件得

2b=4 c a = 2 2 a2-b2=c2

，解得

a=2 2 b=2 c=2

，
∴C₁：

y2

8

+

x2

4

=1．
∵抛物线的焦点F与C₁的一个焦点重合，
∴

p

2

=2，解得p=4，
∴C₂：x²=8y．
（Ⅱ）由题意知直线AB的斜率存在且过点F（0，2），设其方程为y=kx+2，
由

y=kx+2 x2=8y

消去y得，x²-8kx-16=0
令A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂），则x₁+x₂=8k，x₁•x₂=-16，
由x²=8y得，y=

1

8

x2，y′=

1

4

x，
∴AQ：y=

1

4

x1x-

1

8

x

2 1

，BQ：y=

1

4

x2x-

1

8

x

2 2

联立AQ、BQ的方程解得，x=

x1+x2

2

=4k，y=

1

4

x2•

x1+x2

2

-

1

8

x

2 2

=

1

8

x1x2=-2，
∴Q（4k，-2），由于点Q在椭圆的内部，∴

(-2)2

8

+

(4k)2

4

＜1，∴0≤k2＜

1

8

．
由

y=kx+2 2x2+y2=8

消去y得，x²-kx-16=0，
令C（x₃，y₃）、D（x₄，y₄），则x3+x4=-

4k

2+k2

，x3•x4=-

4

2+k2

，
∴|CD|=

(1+k2)[(- 4k 2+k2 )2+ 16 2+k2 ]

=

4 2 (k2+1)

k2+2

，
Q点到直线CD的距离d=

|4k2+4|

k2+1

=

k2+1

，
∴△QCD的面积S△QCD=

1

2

•

4 2 (k2+1)

k2+2

•4

k2+1

=

8 2 (k2+1) k2+1

k2+2

•
令

k2+1

=t(1≤t＜

3 2

4

)，考察函数f(t)=

8 2 t3

t2+1

，1≤t＜

3 2

4

，
∵f′(t)=

8 2 t2(t2+3)

(t2+1)2

＞0，
∴f（t）在[1，

3 2

4

)上单调递增，
∴f(1)≤f(t)＜f(

3 2

4

)，∴4

2

≤f(t)＜

108

17

，
即4

2

≤S△QCD＜

108

17

．

点评：本题综合考查了直线与圆锥曲线的相交及相切位置关系、弦长公式、点到直线的距离公式、三角形的面积公式、利用导数研究函数的单调性及几何意义等基础知识与基本技能方法，考查了推理能力和计算能力，属于难题．