Question

已知函数是奇函数，的定义域为．当时，．这里，e为自然对数的底数．

(1)若函数在区间上存在极值点，求实数的取值范围；

(2)如果当x≥1时，不等式恒成立，求实数的取值范围；

(3)试判断 与的大小关系，这里,并加以证明．

Answer 1

解：x>0时，         ………2分

（1）当x>0时，有

；

所以在（0，1）上单调递增，在上单调递减，函数在处取得唯一的极值．由题意，且，解得

所求实数的取值范围为      ………………………5分

（2）当时，

  令，由题意，在上恒成立

 

   令，则，当且仅当时取等号．

   所以在上单调递增，．

   因此，    在上单调递增，．

   所以．所求实数的取值范围为     …………………9分

（3）(方法一)由（2），当时，即，即．

    从而．

令，得

  

，

     ……

  

   将以上不等式两端分别相加，得

       ………………………14分

（方法二）时，<

猜想对一切成立。

欲证对一切成立，

只需证明

而，

而>0,   0

所以 >,

所以成立,所以猜想正确.