Question

已知函数，，函数的图象在点处的切线平行于轴．
（1）确定与的关系；
（2）试讨论函数的单调性；
（3）证明：对任意，都有成立。

Answer 1

（1）（2）当时，函数在(0,1)上单调递增，在单调递减；当时，函数在单调递增，在单调递减；在上单调递增；当时，函数在上单调递增，当时，函数在上单调递增，在单调递减；在上单调递增（3）见解析

（1）依题意得，则
由函数的图象在点处的切线平行于轴得：
∴-------------------------------------3分
（2）由（1）得----------4分
∵函数的定义域为
∴当时，在上恒成立，
由得，由得，
即函数在(0,1)上单调递增，在单调递减；----------------5分
当时，令得或，
若，即时，由得或，由得，
即函数在，上单调递增，在单调递减；---------6分
若，即时，由得或，由得，
即函数在，上单调递增，在单调递减；------------7分
若，即时，在上恒有，
即函数在上单调递增， -----------------8分
综上得：当时，函数在(0,1)上单调递增，在单调递减；
当时，函数在单调递增，在单调递减；在上单调递增；
当时，函数在上单调递增，
当时，函数在上单调递增，在单调递减；在上单调递增．
（3）证法一：由（2）知当时，函数在单调递增，，即，------------11分
令，则，-------------------------------------12分

即--------14分
证法二：构造数列，使其前项和，
则当时，，-------11分
显然也满足该式，
故只需证-------------------12分
令，即证，记，
则，
在上单调递增，故，
∴成立，

即． -14分