Question

7．（1）已知：a是整数，2能整除a²，求证：2能整除a；
（2）已知a＞0，b＞0，求证：$\frac{a+b}{2}$≥$\sqrt{ab}$．

Answer 1

分析 （1）利用反证法进行证明；
（2）利用分析法证明即可．

解答 （1）证明：假设命题的结论不成立，即“2不能整除a”．（2分）
因为a是整数，故a是奇数，a可以表示为2m+1（m为整数），则a²=（2m+1）²=4m²+4m+1=2（2m²+2m）+1（6分）
即a²是奇数．
所以，2不能整除a²．这与已知“2能整除a²”相矛盾．
于是，“2不能整除a”这个假设错误，故2能整除a．（9分）
（2）证明：为证明$\frac{a+b}{2}≥\sqrt{ab}（a＞0，b＞0）$成立，
只需证$\frac{{{{（a+b）}^2}}}{4}≥ab$，即a²+b²+2ab≥4ab，（13分）
即a²+b²≥2ab，此式显然成立．（16分）
这样，就证明了$\frac{a+b}{2}≥\sqrt{ab}$．（18分）

点评 本题考查反证法、分析法，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．