Question

函数f（x）=ax³+bx²+cx+d（x∈R）的图象经过原点，且f（-1）=2和f（1）=-2分别是函数f（x）的极大值和极小值．
（Ⅰ）求a，b，c，d；
（Ⅱ）过点A（1，-3）作曲线y=f（x）的切线，求所得切线方程．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的极值,利用导数研究曲线上某点切线方程

专题：导数的综合应用

分析：（Ⅰ）由于函数f（x）的图象经过原点，可得f（0）=d=0．f（-1）=2和f（1）=-2分别是函数f（x）的极大值和极小值，可得f′（-1）=f′（1）=0，解出即可．
（II）设切点为M(x0，x03-3x0)．可得切线方程为：y-(x03-3x0)=(3x02-3)(x-x0)，把点A（1，-3）代入解出即可．

解答： 解：（Ⅰ）∵函数f（x）的图象经过原点，
∴f（0）=d=0．
∵f（-1）=2和f（1）=-2分别是函数f（x）的极大值和极小值．
∴f'（x）=3ax²+2bx+c=3a（x+1）（x-1）=3ax²-3a，
∴b=0，c=-3a，
∴f（x）=ax³-3ax，
又∵f（-1）=2，f（1）=-2，
∴a=1
经检验，a=1，b=0，c=-3，d=0
即：f（x）=x³-3x．
（Ⅱ）设切点为M(x0，x03-3x0)．
则切线方程为：y-(x03-3x0)=(3x02-3)(x-x0)，
把点A（1，-3）代入可得-3-(x03-3x0)=(3x02-3)(1-x0)，
即：2x03-3x02=0，
解得x₀=0或x0=

3

2

．
∴切线为y=-3x和y=

15

4

x-

27

4

．

点评：本题考查了利用导数研究函数的极值、切线的斜率、切线方程，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．