Question

设a＞0，b＞0，若矩阵A=

a 0 0 b

把圆C：x²+y²=1变换为椭圆E：

x2

4

+

y2

3

=1．
（1）求a，b的值；
（2）求矩阵A的逆矩阵A^-1．

Answer 1

（1）设点P（x，y）为圆C：x²+y²=1上任意一点，
经过矩阵A变换后对应点为P′（x′，y′）
则

a 0 0 b

x y

═

x′ y′

，所以

x′=ax y′=by

．…2分
因为点P′（x′，y′）在椭圆E：

x2

4

+

y2

3

=1上，
所以

a2x2

4

+

b2y2

3

=1，这个方程即为圆C方程．…6分
因为a＞0，b＞0，所以a=2，b=

3

． …8分
（2）由（1）得A=

2 0 0 3

，设A^-1=

m n p q

，
得AA^-1=

2 0 0 3

m n p q

=

2m 2n 3 p 3 q

=

1 0 0 1

．
．∴m=

1

2

，n=p=0，q=

3

3

，可得A^-1=

1 2 0 0 3 3

…10分