Question

（14分）已知在数列｛a_n｝中，a₁=t，a₂=t²，其中t>0，x=是函数f(x)=a_n-1x³-3[(t+1)a_n-a_n+1]x+1   (n≥2)的一个极值点（Ⅰ）求数列｛a_n｝的通项公式

（Ⅱ）当时，令，数列前项的和为，求证：

（Ⅲ）设，数列前项的和为，求同时满足下列两个条件的的值：（1） （2）对于任意的，均存在，当时，

Answer 1

（Ⅰ）略（Ⅱ）略（Ⅲ） 

解析:

：（Ⅰ）由题意得：f′()=0  即3a_n-1t-3[(t+1)a_n-a_n+1]=0

故a_n+1-a_n=t(a_n-a_n-1)(n≥2)       则当t≠1时，数列{a_n+1-a_n}是以t²-t为首项          t为公比的等比数列   ∴a_n+1-a_n=（t²-t）t^n-1  由a_n+1-a_n=a₁+(a₂-a₁)+(a₃-a₂)+…+(a_n-a_n-1)          =t+(t²-t)[1+t+t²+…+t^n-2] =t+(t²-t)· =tⁿ此式对t=1也成立∴a_n=tⁿ  (n∈N)

（Ⅱ）    

（Ⅲ）  （1）当 时，由Ⅱ得

        

          取，当时，

        （2）当时，，所以

           

       取因为，不存在，使得当时，

         （3）当时，，

           ，由（1）可知存在，当时

          ，故存在，当时，

        

           综上，