Question

13．已知函数y=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜$\frac{π}{2}$）的图象如图所示．
（1）试确定该函数的解析式；
（2）该函数的图角可由y=sinx（x∈R）的图象经过怎样的平移和伸缩变换得到？

Answer 1

分析 （1）由函数的图象的顶点坐标求出A，由周期求出ω，由特殊点的坐标求出φ的值，可得函数的解析式．
（2）由条件利用函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，可得结论．

解答 解：（1）∵由图知：A=2，…（1分）
∴T=2（$\frac{11π}{12}$-$\frac{5π}{12}$）=π，…（2分）
∴T=$\frac{2π}{ω}$，可得：ω=2，
∴y=2sin（2x+φ），…（3分）
把（$\frac{5π}{12}$，2）代入得2sin（$\frac{5π}{6}$+φ）=2，
可得：sin（$\frac{5π}{6}$+φ）=1，
∵|φ|＜$\frac{π}{2}$，
∴$\frac{5π}{6}$+φ=$\frac{π}{2}$，可得：φ=-$\frac{π}{3}$，（注：其它方法酌情给分）
∴y=2sin（2x-$\frac{π}{3}$）．                                     …（5分）
（2）y=2sin（2x-$\frac{π}{3}$）的图象可由y=sinx的图象
先向右平移$\frac{π}{3}$个单位长度，再保持纵坐标不变横坐标缩短为原来的$\frac{1}{2}$倍，最后保持横坐标不变纵坐标伸长为原来的2倍得到．
（或先保持纵坐标不变横坐标缩短为原来的$\frac{1}{2}$倍，再向右平移$\frac{π}{6}$个单位长度，最后保持横坐标不变纵坐标伸长为原来的2倍得到．）                    …（8分）
（注：如果三步变换中的某一步的变换不正确，本问得0分）

点评 本题主要考查由函数y=Asin（ωx+φ）的部分图象求解析式，考查函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，属于基础题．