Question

8．设函数f（x）=|x-a|+|x-5|，x∈R．
（1）当a=2时，求不等式f（x）≥5的解集；
（2）已知a＜5，若关于x的方程f（x）=ax有且只有两个实数解，求正实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）把要解的不等式等价转化为与之等价的三个不等式组，求出每个不等式组的解集，再取并集，即得所求．
（2）由题意可得f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{a+5-2x，x＜a}\\{5-a，a≤x≤5}\\{2x-a-5，x＞5}\end{array}\right.$的图象和直线y=ax有且只有两个交点，数形结合求得正实数a的取值范围．

解答 解：（1）当a=2时，f（x）=|x-a|+|x-5|=|x-2|+|x-5|，不等式f（x）≥5，等价于：
$\left\{\begin{array}{l}{x＜2}\\{2-x+5-x≥5}\end{array}\right.$ ①，或 $\left\{\begin{array}{l}{2≤x≤5}\\{x-2+5-x≥5}\end{array}\right.$②，或 $\left\{\begin{array}{l}{x＞5}\\{x-2+x-5≥5}\end{array}\right.$③．
解①求得x≤1，解②求得x∈∅，解③求得x≥6，
故原不等式的解集为{x|x≤1，或x≥6  }．
（2）已知a＜5，若关于x的方程f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{a+5-2x，x＜a}\\{5-a，a≤x≤5}\\{2x-a-5，x＞5}\end{array}\right.$=ax有且只有两个实数解，
即函数f（x）的图象和直线y=ax有且只有两个交点，
结合函数f（x）的图象，点A（5，5-a），B（a，5-a），
直线OA的斜率为K_OA=$\frac{5-a}{5}$，图中蓝色的直线方程为y=2x，和f（x）右端的射线平行，
∴$\frac{5-a}{5}$＜a＜2，求得$\frac{5}{6}$＜a＜2．

点评 本题主要考查绝对值不等式的求法，带有绝对值的函数，方程根的存在性以及个数判断，体现了转化、数形结合的数学思想，属于中档题．