Question

已知数列{a_n}中，．
（1）求数列{a_n}的通项公式a_n；
（2）求数列{n²a_n}的前n项和T_n；
（3）若存在n∈N^*，使关于n的不等式a_n≤（n+1）λ成立，求常数λ的最小值．

Answer 1

解：（1）因为
所以-------（1分）
两式相减得
所以------------（2分）
因此数列{na_n}从第二项起，是以2为首项，以3为公比的等比数列
所以----（3分）
故------------（4分）
（2）由（1）可知当n≥2
当n≥2时，，------------（5分）
∴，------------（6分）
两式相减得------------（7分）
又∵T₁=a₁=1也满足上式，------------（8分）
所以------------（9分）
（3）a_n≤（n+1）λ等价于，------------（10分）
由（1）可知当n≥2时，
设，则，------------（12分）
∴，
又及，∴所求实数λ的取值范围为，
∴-----（14分）
分析：（1）再写一式，两式相减，可得数列{na_n}从第二项起，是以2为首项，以3为公比的等比数列，从而可求数列{a_n}的通项公式a_n；
（2）利用错位相减法，可求数列{n²a_n}的前n项和T_n；
（3）分离参数，求出相应的最值，即可求常数λ的最小值．
点评：本题考查数列的通项与求和，考查恒成立问题，考查学生的计算能力，正确求数列的通项是关键．