Question

13．已知函数y=2sin（2x-$\frac{π}{6}$）-1，x∈R．
（1）求函数的最小正周期；
（2）求函数的最值以及取得最值的x的集合；
（3）求函数的单调递增区间；
（4）求函数的对称轴与对称中心；
（5）函数的图象可以由函数y=sinx的图象经过怎样的变换得到？

Answer 1

分析 直接利用正弦函数的周期性、单调区间、最小值以及取得最小值的x的集合的求法，函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，求解即可．

解答 解：（1）∵y=2sin（2x-$\frac{π}{6}$）-1，x∈R．
∴函数的最小正周期T=$\frac{2π}{2}$=π．
（2）函数的最小值-3，2x-$\frac{π}{6}$=-$\frac{π}{2}$+2kπ，此时x∈{x|x=-$\frac{π}{6}$+kπ，k∈z}，
函数的最大值1，2x-$\frac{π}{6}$=$\frac{π}{2}$+2kπ，此时x∈{x|x=$\frac{π}{3}$+kπ，k∈z}，
（3）因为：2x-$\frac{π}{6}$∈[-$\frac{π}{2}$+2kπ，$\frac{π}{2}$+2kπ]k∈z
所以：函数y=sin（2x-$\frac{π}{6}$）-1的单调增区间：[-$\frac{π}{6}$+kπ，$\frac{π}{3}$+kπ]，k∈z
（4）由2x-$\frac{π}{6}$=$\frac{π}{2}$+kπ，k∈z可解得函数的对称轴为：x=$\frac{kπ}{2}+\frac{π}{3}$，k∈Z，
由2x-$\frac{π}{6}$=kπ，k∈z可解得函数的对称中心为：（$\frac{kπ}{2}+\frac{π}{12}$，-1），k∈Z，
（5）将y=sinx的图象先向右平移$\frac{π}{6}$个单位长度，再把横坐标缩短为原来的$\frac{1}{2}$ （纵坐标不变），然后把纵坐标伸长为原来的2倍（横坐标不变），
再向下平移1个单位长度，可得f（x）=2sin（2x-$\frac{π}{6}$）-1的图象．

点评 本题考查三角函数的基本性质，函数的单调性，周期性，最值的求法，考查学生分析问题解决问题的能力，是常考题目．