Question

5．如图是一个弓形APB湖面景点的平面示意图．其所在圆O的半径为$\sqrt{2}$（圆心O在弓形APB内），P点是AB弧的中点，C为圆周上靠近A的一点，D为圆周上靠近B的一点，且CD∥AB．现在准备从A经过C到D建造一条观光路线，其中A到C是圆弧AC，C到D是线段CD．设∠AOB=$\frac{π}{2}$，∠POD=α rad，观光路线总长为y km．
（1）求y关于α的函数的解析式，并指出该函数的定义域；
（2）求观光路线总长的最大值．

Answer 1

分析 （1）根据已知，将弧AC和弦CD的长度相加，可得y关于α的函数的解析式，结合∠AOB=$\frac{π}{2}$，求出∠POD的范围，可得该函数的定义域；
（2）利用导数法，分析函数的单调性，进而可得函数的最大值．

解答 解：（1）由题意得，
y=$\sqrt{2}$•（$\frac{3π}{4}$-α）+$\sqrt{2}$•sinα×2=$\frac{3\sqrt{2}}{4}π$-$\sqrt{2}$α+2$\sqrt{2}$sinα，
∵∠AOB=$\frac{π}{2}$，∠POD=α，
∴0＜2α＜2π-$\frac{π}{2}$，
∴0＜α＜$\frac{3π}{4}$；
函数的定义域为{α|0＜α＜$\frac{3π}{4}$}；
（2）y′=$\sqrt{2}$-2$\sqrt{2}$cosα，
令y′=0解得，α=$\frac{π}{3}$，
故当α=$\frac{π}{3}$时，观光路线总长最大，
最大值为$\frac{5\sqrt{2}}{12}π$+$\sqrt{6}$（km）．

点评 本题考查了学生将实际问题转化为数学问题的能力，属于中档题．