Question

17．在等差数列{log₃a_n}中，已知log₃a₂+log₃a₄+log₃a₆=6，a₁a₃a₅=27．求：
（1）等差数列{log₃a_n}的公差；
（2）a₁+a₂．

Answer 1

分析 （1）根据对数的运算性质，结合等差数列{log₃a_n}的性质，利用作差法即可求出公差；
（2）根据对数的性质求出数列{a_n}是公比q=3的等比数列，即可求a₁+a₂．

解答 解：（1）∵a₁a₃a₅=27，
∴og₃a₁a₃a₅=log₃a₁+log₃a₃+log₃a₅=log₃27=3，①
∵log₃a₂+log₃a₄+log₃a₆=6，②
∴设等差数列{log₃a_n}的公差为d，
则②-①得3d=6-3=3，即d=1，
故等差数列{log₃a_n}的公差d=1；
（2）∵等差数列{log₃a_n}的公差d=1，
∴log₃a_n-log₃a_n-1=1，
即log₃$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n-1}}$=1，即$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n-1}}$=3，
故数列{a_n}是公比q=3的等比数列，
由a₁a₃a₅=27得${{a}_{3}}^{3}=27$，即a₃=3，
则a₁q²=a₃，
即9a₁=3，则a₁=$\frac{1}{3}$，a₂=qa₁=3×$\frac{1}{3}$=1，
则a₁+a₂=$\frac{1}{3}$+1=$\frac{4}{3}$．

点评 本题主要考查等比数列和等差数列通项公式的应用，结合对数的运算性质是解决本题的关键．