Question

7．观察下列恒等式（α为任意数且sinα≠0）
$\frac{sinα}{sinα}$=1
$\frac{sin2α}{sinα}$=2cosα
$\frac{sin3α}{sinα}$=2cos2α+1
$\frac{sin4α}{sinα}$=2cos3α+2cosα
$\frac{sin5α}{sinα}$=2cos4α+2cos2α+1
$\frac{sin6α}{sinα}$=2cos5α+2cos3α+2cosα
…
（1）请按规律写出横线中的式子；
（2）请归纳出一般的结论，并证明你的结论；
（3）求cos$\frac{2π}{7}$+cos$\frac{4π}{7}$+cos$\frac{6π}{7}$+cos$\frac{8π}{7}$+cos$\frac{10π}{7}$+cos$\frac{12π}{7}$的值．

Answer 1

分析 由已知中的三角函数恒等式，可得：$\frac{sinnα}{sinα}=\left\{\begin{array}{l}2cos（n-1）α+2cos（n-3）α+…+1，n为奇数\\ 2cos（n-1）α+2cos（n-3）α+…+2cosα，n为偶数\end{array}\right.$，进而得到答案．

解答 解：由已知中恒等式（α为任意数且sinα≠0）
$\frac{sinα}{sinα}$=1
$\frac{sin2α}{sinα}$=2cosα
$\frac{sin4α}{sinα}$=2cos3α+2cosα
$\frac{sin5α}{sinα}$=2cos4α+2cos2α+1
$\frac{sin6α}{sinα}$=2cos5α+2cos3α+2cosα
…
可得：$\frac{sinnα}{sinα}=\left\{\begin{array}{l}2cos（n-1）α+2cos（n-3）α+…+1，n为奇数\\ 2cos（n-1）α+2cos（n-3）α+…+2cosα，n为偶数\end{array}\right.$，
故n=3时，（1）中式子为：$\frac{sin3α}{sinα}$=2cos2α+1，
（2）的证明如下：
证明：当n为奇数时，
[2cos（n-1）α+2cos（n-3）α+…+1]sinα
=2cos（n-1）αsinα+2cos（n-3）αsinα+…+sinα
=sin[（n-1）α+α]-sin[（n-1）α-α]+sin[（n-3）α+α]-sin[（n-3）α-α]+…+sinα
=sinnα-sin（n-2）α+sin（n-2）α-sin（n-4）α+…+sinα
=sinnα
故$\frac{sinnα}{sinα}$=2cos（n-1）α+2cos（n-3）α+…+1，
当n为偶数时，
[2cos（n-1）α+2cos（n-3）α+…+2cosα]sinα
=2cos（n-1）αsinα+2cos（n-3）αsinα+…+2cosαsinα
=sin[（n-1）α+α]-sin[（n-1）α-α]+sin[（n-3）α+α]-sin[（n-3）α-α]+…+sin2α
=sinnα-sin（n-2）α+sin（n-2）α-sin（n-4）α+…+sin2α
=sinnα
故$\frac{sinnα}{sinα}$=2cos（n-1）α+2cos（n-3）α+…+2cosα，
综上所述$\frac{sinnα}{sinα}=\left\{\begin{array}{l}2cos（n-1）α+2cos（n-3）α+…+1，n为奇数\\ 2cos（n-1）α+2cos（n-3）α+…+2cosα，n为偶数\end{array}\right.$对于任意正整数恒成立．
（3）当α=$\frac{π}{7}$时，cos$\frac{2π}{7}$+cos$\frac{4π}{7}$+cos$\frac{6π}{7}$+cos$\frac{8π}{7}$+cos$\frac{10π}{7}$+cos$\frac{12π}{7}$=cos12α+cos10α+cos8α+cos6α+cos4α+cos2α，
∵$\frac{sin13α}{sinα}$=$\frac{sin\frac{13π}{7}}{sin\frac{π}{7}}$=$\frac{sin（2π-\frac{π}{7}）}{sin\frac{π}{7}}$=$\frac{-sin\frac{π}{7}}{sin\frac{π}{7}}$=-1=2（cos12α+cos10α+cos8α+cos6α+cos4α+cos2α）+1=2（cos$\frac{2π}{7}$+cos$\frac{4π}{7}$+cos$\frac{6π}{7}$+cos$\frac{8π}{7}$+cos$\frac{10π}{7}$+cos$\frac{12π}{7}$）+1，
故cos$\frac{2π}{7}$+cos$\frac{4π}{7}$+cos$\frac{6π}{7}$+cos$\frac{8π}{7}$+cos$\frac{10π}{7}$+cos$\frac{12π}{7}$=-1

点评 归纳推理的一般步骤是：（1）通过观察个别情况发现某些相同性质；（2）从已知的相同性质中推出一个明确表达的一般性命题（猜想）．