Question

16．已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，其导函数为f′（x），且x＜0时，2f（x）+xf′（x）＜0恒成立，则a=f（1），b=2f（$\sqrt{2}$），c=4f（2）的大小关系为（　　）

• A． c＜b＜a
• B． c＜a＜b
• C． a＜c＜b
• D． a＜b＜c

Answer 1

分析 构造g（x）=x²f（x），进一步利用函数的导数求出函数g（x）的单调性，再利用函数的奇偶性求出函数在对称区间里的单调性，最后求出函数大小关系．

解答 解：构造函数g（x）=x²f（x）
则g′（x）=2xf（x）+x²f′（x）=x（2f（x）+xf′（x））
当x＜0时，2f（x）+xf′（x）＜0恒成立，
∴函数g′（x）＞0，
即当x＜0时，函数g（x）为单调递增函数．
∵函数f（x）是定义在R上的奇函数，
∴函数g（x）=x²f（x）为奇函数．
即在x＞0时，函数g（x）为单调递增函数．
则g（1）=f（1）=a，g（$\sqrt{2}$）=2f（$\sqrt{2}$）=b，g（2）=4f（2）=c，
则g（2）＞g（$\sqrt{2}$）＞g（1），
即a＜b＜c．
故选：D

点评 本题主要考查函数值的大小比较，构造函数，求函数的导数，利用函数的导数求函数的单调性是解决本题的关键．．